笔者介绍：姜雪伟，IT公司技术合伙人，IT高级讲师，CSDN社区专家，特邀编辑，畅销书作者，国家专利发明人;已出版书籍：《手把手教你架构3D游戏引擎》电子工业出版社和《Unity3D实战核心技术详解》电子工业出版社等。
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接着上一篇博客讲解的内容基于物理的渲染技术（PBR）系列三，下面介绍菲涅尔（发音为Freh-nel）方程描述的是被反射的光线对比光线被折射的部分所占的比率，这个比率会随着我们观察的角度不同而不同。当光线碰撞到一个表面的时候，菲涅尔方程会根据观察角度告诉我们被反射的光线所占的百分比。利用这个反射比率和能量守恒原则，我们可以直接得出光线被折射的部分以及光线剩余的能量。
当垂直观察的时候，任何物体或者材质表面都有一个
菲涅尔方程是一个相当复杂的方程式，不过幸运的是菲涅尔方程可以用
FSchlick(n,v,F0)=F0+(1−F0)(1−(n⋅v))5
F0F0表示平面的基础反射率，它是利用所谓折射指数(Indices of Refraction)或者说IOR计算得出的。然后正如你可以从球体表面看到的那样，我们越是朝球面掠角的方向上看（此时视线和表面法线的夹角接近90度）菲涅尔现象就越明显，反光就越强：
菲涅尔方程还存在一些细微的问题。其中一个问题是Fresnel-Schlick近似仅仅对
平面对于法向入射的响应或者说基础反射率可以在一些大型数据库中找到，比如下图所示的，下面列举的这一些常见数值就是从Naty Hoffman的课程讲义中所得到的：
这里可以观察到的一个有趣的现象，所有电介质材质表面的基础反射率都不会高于0.17，这其实是例外而非普遍情况。导体材质表面的基础反射率起点更高一些并且（大多）在0.5和1.0之间变化。此外，对于导体或者金属表面而言基础反射率一般是带有色彩的，这也是为什么要用RGB三原色来表示的原因（法向入射的反射率可随波长不同而不同）。这种现象我们只能在金属表面观察的到。
金属表面这些和电介质表面相比所独有的特性引出了所谓的
vec3 F0 = vec3(0.04); F0 = mix(F0, surfaceColor.rgb, metalness);
我们为大多数电介质表面定义了一个近似的基础反射率。取最常见的电解质表面的平均值，这又是一个近似值。不过对于大多数电介质表面而言使用0.04作为基础反射率已经足够好了，而且可以在不需要输入额外表面参数的情况下得到物理可信的结果。然后，基于金属表面特性，我们要么使用电介质的基础反射率要么就使用来作为表面颜色。因为金属表面会吸收所有折射光线而没有漫反射，所以我们可以直接使用表面颜色纹理来作为它们的基础反射率。
Fresnel Schlick近似可以用代码表示为：
vec3 fresnelSchlick(float cosTheta, vec3 F0)
{
return F0 + (1.0 - F0) * pow(1.0 - cosTheta, 5.0);
}其中
cosTheta是表面法向量与观察方向的点乘的结果。随着Cook-Torrance BRDF中所有元素都介绍完毕，我们现在可以将基于物理的BRDF纳入到最终的反射率方程当中去了：
Lo(p,ωo)=∫Ω(kdcπ+ksDFG4(ωo⋅n)(ωi⋅n))Li(p,ωi)n⋅ωidωi
这个方程现在完整的描述了一个基于物理的渲染模型，它现在可以认为就是我们一般意义上理解的基于物理的渲染也就是PBR。如果你还没有能完全理解我们将如何把所有这些数学运算结合到一起并融入到代码当中去的话也不必担心。在下一个教程当中，我们将探索如何实现反射率方程来在我们渲染的光照当中获得更加物理可信的结果，而所有这些零零星星的碎片将会慢慢组合到一起来。
在了解了PBR后面的数学模型之后，最后我们将通过说明美术师一般是如何编写一个我们可以直接输入PBR的平面物理属性的来结束这部分的讨论。PBR渲染管线所需要的每一个表面参数都可以用纹理来定义或者建模。使用纹理可以让我们逐个片段的来控制每个表面上特定的点对于光线是如何响应的：不论那个点是金属的，粗糙或者平滑，也不论表面对于不同波长的光会有如何的反应。
在下面你可以看到在一个PBR渲染管线当中经常会碰到的纹理列表，还有将它们输入PBR渲染器所能得到的相应的视觉输出：
反照率：
法线：法线贴图纹理和我们之前在法线贴图教程中所使用的贴图是完全一样的。法线贴图使我们可以逐片段的指定独特的法线，来为表面制造出起伏不平的假象。
金属度：金属(Metallic)贴图逐个纹素的指定该纹素是不是金属质地的。根据PBR引擎设置的不同，美术师们既可以将金属度编写为灰度值又可以编写为1或0这样的二元值。
粗糙度：粗糙度(Roughness)贴图可以以纹素为单位指定某个表面有多粗糙。采样得来的粗糙度数值会影响一个表面的微平面统计学上的取向度。一个比较粗糙的表面会得到更宽阔更模糊的镜面反射（高光），而一个比较光滑的表面则会得到集中而清晰的镜面反射。某些PBR引擎预设采用的是对某些美术师来说更加直观的
AO：
美术师们可以在纹素级别设置或调整这些基于物理的输入值，还可以以现实世界材料的表面物理性质来建立他们的材质数据。这是PBR渲染管线最大的优势之一，因为不论环境或者光照的设置如何改变这些表面的性质是不会改变的，这使得美术师们可以更便捷的获取物理可信的结果。在PBR渲染管线中编写的表面可以非常方便的在不同的PBR渲染引擎间共享使用，不论处于何种环境中它们看上去都会是正确的，因此看上去也会更自然。